[教海探航]小球为什么不能到达最高点

高干

摘 要：竖直平面内圆周运动是高中物理教学中的一个重点问题，也是一个涉及多种物理现象的问题，而其中涉及的临界问题，如临界速度、临界点问题，尤其是竖直平面内圆周运动中的临界点问题，需要与能量知识点结合教学更是成为其中的教学难点。对于小球（或质点）所能达到的最高点（或为什么不能到达最高点）问题，需要在教学中注意各种物理知识之间的衔接，对这个典型教学问题进行深入剖析，才有利于学生加深理解，更能利于相关知识点的掌握。

关键词：竖直平面; 圆周运动; 临界速度

中图分类号：G633.7? ? ? ? ?文献标识码：A? ? ? ?文章编号：1006-3315（2021）3-022-002

小球的竖直平面圆周运动是一个较为复杂的过程，其中可涉及到很多物理量，如角速度、线速度、向心加速度等，也会涉及到临界问题，如临界速度、临界点问题，如此复杂教学问题，学生在学习过程中极易因为定义、物理量之间的关系等的理解出现误解，从而影响竖直平面圆周运动的学习质量。尤其是临界问题中的临界点问题，如小球（或质点）所能达到的最高点（或为什么不能到达最高点）问题，由于需要与能量问题结合，学生在处理这个问题时易顾此失彼。如何解决竖直平面圆周运动中“小球为什么不能到达最高点”这个学习难题，本文以教学中的一个实例进行探讨。

1.现象：问题的提出

在一次日常高中物理测评中，有遇到这样一个问题。如右图所示：ABCDE为一个位于竖直平面内的光滑轨道，其中AD段为竖直轨道，DB段为曲面轨道，BEC段为半径R的半圆轨道，曲面轨道与半圆轨道在B处相切，轨道D处与C处等高，B处为是轨道的最低点，B处、C处位于同一竖直线。若在轨道内侧AD段某处释放大小不计的质量为m的光滑小球，请问在离B处多高是释放，小球才能达到BEC段半圆轨道的最高点C处？

其实，对于这个小球竖直平面圆周运动的试题，学生们并不难得出正确的解题思路。从解题思路来看，由于本题中光滑轨道只能给光滑小球施加指向圆心的约束力，若小球运动到C处作圆周运动，那么其所需要向心力即为小球重力，也就是说C处为圆周运动的临界最小速度Vc=[gR]，可由动能定理（或机械能守恒定律）很容易就可解答出本题目的正确答案，即当释放小球时离B处的高度为2.5R（或离C处高为0.5R）高时，能达到BEC段半圆轨道的最高点C处。

但是仍然有部分学生在解答这个题目时认为，根据能量守恒，在D处释放光滑小球，小球也应该可以与D处相同高度的C处。这类学生们的理由很简单，即根据初中物理牛顿第一定律，这部分学生认为，当从一个光滑斜面下滑的小球时，由于小球在运动过程中并未产生摩擦力，故可以滑到BEC段半圆轨道上同样的高度C处。但是面对最后正确答案“当释放小球时离B处的高度为2.5R（或离C处高为0.5R）高时，小球才能达到BEC段半圆轨道的最高点C处”时，学生们始终不解，他们疑问的是为什么在D处释放光滑小球，小球不能达到BEC段半圆轨道的最高点C处。其实对应学生们的疑问，大多数教师在帮助学生们处理这一疑惑时，他们都很少正面说明，而是顺着学生的思路指出：如果小球达到BEC段半圆轨道的最高点C处，在C处小球的速度为0，那么在重力作用下将自由下落，若将轨道的圆周部分延伸，那么小球将不再沿轨道继续做圆周运动，因此根据对称性，逆向思考，在D处释放光滑小球，小球是不可能冲E处运动到C处的。

其实对于教师的这个简单的问题解释，看似学生们理解了习题的正确答案，其实学生们大多数仍存在较多疑惑，主要与学生对竖直平面圆周运动问题理解不够深刻有关。

2.剖析：知识点回顾

对于小球（或质点）在竖直平面内的圆周运动问题，学生们有可能受知识和能力限制，在解答问题中往往只分析通过最高点、最低点的情况，这可能导致其不能真正理解这类题型。在物理学的问题研究中，可从特殊到一般这样的规律进行，故对于竖直平面圆周运动的知识考查，在教学中也需要考虑各种临界状态这个特殊情况的切入点。竖直平面内的小球圆周运动，可因作用物（如绳、轻杆、轨道、管道等）的不同分为两类临界问题，即轻绳类圆周运动和轻杆类圆周运动，轻绳类圆周运动包括绳或轨道这类的圆周运动问题，而轻杆类圆周运动包括杆或管道这类的圆周运动问题。

2.1轻绳类圆周运动

对于轻绳类圆周运动问题而言，由于绳是柔软的，故对小球只能产生沿绳收缩方向的拉力，同时轨道也只能产生与轨道垂直方向的作用力，即轻绳类圆周运动中，绳或轨道只能沿径向给物体作用力。如右图所示，小球作轻绳类圆周运动时，由于小球没有物体支撑，故在竖直平面做圆周运动过最高点的情况可分为3种：其一，临界点：此时小球运动到最高点，绳子（或轨道）对小球无没有力的作用，此时小球速度为V=[gR];其二，小球可通过圆周运动的最高点，其条件为V[>][gR]，当V[>][gR]时，绳或轨道可对小球产生径向作用力，即绳对小球产生径向拉力，轨道对球产生径向压力;其三，小球不可通过圆周运动最高点，其条件为V[<][gR]，实际上这种情况，球还未达到圆周最高点就脱离了轨道，而做斜抛运动，此时绳或轨道对小球已经无径向作用力。

2.2轻杆类圆周运动

这类轻杆类圆周运动其实就是有物体支撑的小球在竖直平面内做圆周运动的问题，此类问题更为复杂。如右图所示，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况可分为2种：其一，临界点，由于小球有硬杆、管壁的支撑作用，小球恰能到达最高点的临界速度，这个小球只要放在与圆周最高点相同高点位置就能达到最高点。其二，小球可通过圆周运动的最高点，此时，硬杆、管壁对小球作用力情况较为复杂一点：①当此时小球速度V=0时，轻杆管壁对小球有竖直作用力N，其大小等于小球的重力，即N=mg;②当此时小球速度0[N>0];③当此时小球速度V[>][gR]时，轻杆、管壁对小球的作用力N=0，即轻杆、管壁对小球无作用力，此时mg+N=m[v2R]，故N=m[v2R-mg]，杆对小球有指向圆心的拉力，其作用力大小随速度增加而增大。

3.释疑：问题的解决

从上述小球（或质点）在竖直平面内的圆周运动问题的回顾分析来看，对于轻杆类圆周运动和轻绳类圆周运动这两个问题，学生们可能在初次学习圆周运动就有所涉及，其实轻杆類圆周运动和轻绳类圆周运动是有所不同的，即在临界最高点时，硬杆对小球既能产生拉力，也能对小球产生支持力，还可对小球产生零作用力，而轻绳不同，只能产生径向作用力。但是自从接触到了能量相关知识后，他们反而越学越糊涂，为什么有学生认为“在D处释放光滑小球，小球也应该可以与D处相同高度的C处”是正确答案呢，仍然需要教学中集中进行答疑，具体教学解答如下：

如右图所示：令光滑小球在与C处等高的D处释放，其能达到圆周运动最高点为F处，那么其速度为V，此时小球对轨道压力则为0，此时小球圆周运动的向心力为重力的分力F1=mgcos[θ]，然后由动能定理（或机械能守恒定律）可得出，mgR（1-cos[θ]）=[12mv2]，然而由向心力公式可知mgcos[θ=mv2R]，则有cos[θ=23]，v=[23gR]。在图位置小球能继续能上升的高度为h=[（vsinθ）22g=5R27]（此时小球的水平位移为x=[45R27]，图示位置到BC的水平距离为d=Rsin[θ=5R3]， 可知小球还未到C点正下方），而图示位置与C点的高度差为h1=R（1-cos[θ]）=[R3]，可见h[<]h1，那么小球是不能到达圆周最高C处的。进一步分析可知，小球斜抛到达最高点时，水平速度不为0，此时仍然有动能存在。

4.反思：教学的建议

以上解析，从教学理论上可解决学生对小球圆周运动的理解疑惑。但是本文教学案例对学生今后教学有什么启示呢？我们应该在教学中怎么办呢？这需要反思总结经验：

首先，教学中需要利用好物理器材，做好演示实验，才能体现物理学科的特点。当然若教学中有实践，可以设计一个模型将本课题演示出来。在演示时，可以将小球从不同高度释放，让学生观察，最终让学生们“眼见为实”，这可以帮助学生们从感性上认识这一问题。

其次，教学中的典型问题，需要让学生充分思考、讨论、质疑，然后自我发现问题，并想办法解决问题，只有通过教师的引导、释疑，才能让学生提升认识理解能力。

最后，应做好知识衔接问题。物理学科的学习，从初中到高中，从高中到大学，是一个螺旋上升的过程。前一阶段的学习，对后一阶段相关知识的学习有时是促进作用，有时是干扰作用，其实本课例就是因为学生学习了能量守恒定律后的一种特殊干扰作用。故在教师释疑过程中，应分析学生情况，既要预设，又要注意课堂中的生成，不放过学生每一个有价值的疑问。